Trực tâm của tam giác là giao điểm của 3 đường cao, nghĩa là giao điểm của các đường thẳng từ mỗi đỉnh của tam giác đến cạnh đối diện của nó tạo thành một góc vuông. Độ dài của đường cao là khoảng cách giữa đỉnh và đáy.
Tính chất của trực tâm tam giác
- Khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó đến trung điểm cạnh nối hai đỉnh còn lại bằng 1/2 khoảng cách từ một đỉnh tới TT.
- Nếu tam giác đã cho là tam giác cân thì đường cao cũng đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác và đường trung trực của đỉnh tam giác cân đó.
- Trong tam giác đều, trực tâm cũng đồng thời là trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác đó.
- Định lý Carnot: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai là đối xứng của TT qua cạnh tương ứng.
Cách xác định trực tâm của tam giác
Trực tâm của tam giác nhọn
Kẻ hai đường cao từ hai đỉnh của tam giác về hai cạnh đối diện (đoạn thẳng vuông góc từ đỉnh B và C tới cạnh tương ứng). Hai đường cao này sẽ cắt nhau tại một điểm duy nhất, đó chính là trực tâm của tam giác.
Tam giác nhọn ABC có trực tâm H nằm ở miền trong tam giác và có vị trí gần trung điểm của các cạnh.
Trực tâm của tam giác vuông
Trực tâm chính là đỉnh góc vuông.
Ví dụ: Tam giác vuông EFG có trực tâm H trùng với góc vuông E.
Trực tâm của tam giác tù
Kẻ hai đường cao từ hai đỉnh của tam giác về hai cạnh đối diện, sau đó vẽ thêm một đường cao từ điểm đỉnh góc tù xuống cạnh đối diện. Đường cao này cắt đường cao khác tại một điểm, đó chính là trực tâm của tam giác tù.
Trực tâm của tam giác tù nằm ở miền ngoài tam giác đó.
Ví dụ: Tam giác tù BCD có trực tâm H nằm ở miền ngoài tam giác.
Bài tập về đường trực tâm tam giác
Bài 1:
Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó.
Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.
Giải:
Gọi D, E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của ΔABC.
⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB.
ΔHBC có :
AD ⊥ BC nên AD là đường cao từ H đến BC.
BA ⊥ HC tại F nên BA là đường cao từ B đến HC
CA ⊥ BH tại E nên CA là đường cao từ C đến HB.
AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB.
Bài tập 2:
Cho △ABC có các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.
a) Chứng minh: JT⊥EFJT⊥EF
b) Chứng minh: IE⊥JEIE⊥JE
c) Chứng minh: DA là tia phân giác của góc EDF.
d) Gọi P; Q là hai điểm đối xứng của D qua AB và AC
Chứng minh: P; F; E; Q thẳng hàng.
Lời giải:
a) Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác vuông ta có:
FI = 12AH = EIFJ = 12BC = EJFI = 12AH = EIFJ = 12BC = EJ
Vậy IJ là đường trung trực của EF
b)
c)Tứ giác BFHD và ABDE nội tiếp (đpcm)
d) H là giao điểm 3 phân giác của tam giác EFD
Góc PFB = BFD
Góc DFH = EFH
4 góc này cộng lại = 2.90 =180 => P,E,F thẳng hàng
Tương tự ta có F, E, Q thẳng hàng.
Bài tập 3:
Cho H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác HAB, HAC, HBC.
Giải:
Trong ΔABC ta có H là trực tâm nên:
AH ⊥ BC, BH ⊥ AC, CH ⊥ AB
Trong ΔAHB, ta có:
AC ⊥ BH
BC ⊥ AH
Vì hai đường cao kẻ từ A và B cắt nhau tại C nên C là trực tâm của tam giác AHB.
Trong ΔHAC, ta có:
AB ⊥ CH
CB ⊥ AH
Vì hai đường cao kẻ từ A và C cắt nhau tại B nên B là trực tâm của ΔHAC.
Trong ΔHBC, ta có:
BA ⊥ HC
CA ⊥ BH
Vì hai đường cao kẻ từ B và C cắt nhau tại A nên A là trực tâm của tam giác HBC.
