Giải SGK Toán 10 Bài 11 (Kết nối tri thức): Tích vô hướng của hai vecto

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto chi tiết sách Toán 10 Tập 1 Kết nối tri thức với cuộc sống giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto

1. Góc giữa hai vectơ

Giải Toán 10 trang 66 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ1 trang 66 Toán lớp 10: Trong hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vectơ AB→ và AC→. Hãy tìm số đo các góc giữa BC→ và BD→, DA→ và DB→.

Lời giải:

Góc giữa hai vectơ BC→ và BD→ là góc CBD và số đo CBD^=30o.

Góc giữa hai vectơ DA→ và DB→ là góc ADB.

Ta có: ACB^=CBD^+CDB^ (tính chất góc ngoài)

⇔CDB^=80o−30o=50o⇔ADB^=50o

Vậy số đo góc giữa hai vectơ BC→ và BD→, DA→ và DB→ lần lượt là 30o,50o

Câu hỏi trang 66 Toán lớp 10: Khi nào thì góc giữa hai vectơ bằng 0o, bằng 180o?

Phương pháp giải:

Cách xác định góc giữa hai vecto u→,v→

Lấy điểm A bất kì vẽ AB→=u→,AC→=v→, khi đó (u→,v→)=(AB→,AC→)=BAC^

Lời giải:

Góc giữa hai vectơ bằng 0o nếu chúng cùng hướng

Góc giữa hai vectơ bằng 180o nếu chúng ngược hướng.

Luyện tập 1 trang 66 Toán lớp 10: Cho tam giác đều ABC. Tính (AB→,BC→).

Câu hỏi 1 trang 67 Toán lớp 10: Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ u→,v→ là một số dương? Là một số âm?

Phương pháp giải:

+) Tích vô hướng của hai vectơ u→,v→: u→.v→=|u→|.|v→|.cos(u→,v→)

Nhận xét: u→.v→ cùng dấu với cos(u→,v→)

Lời giải:

Dễ thấy: u→.v→ cùng dấu với cos(u→,v→) (do |u→|.|v→|>0). Do đó:

+) u→.v→>0 ⇔cos(u→,v→)>0 hay 0o≤(u→,v→)<90o

+) u→.v→<0 ⇔cos(u→,v→)<0 hay 90o<(u→,v→)≤180o

Vậy u→.v→>0 nếu 0o≤(u→,v→)<90o và u→.v→<0 nếu

Câu hỏi 2 trang 67 Toán lớp 10: Khi nào thì (u→.v→)2=(u→)2.(v→)2?

Phương pháp giải:

+) u→.v→=|u→|.|v→|.cos(u→,v→)

+) u→2=|u→|2 với mọi vectơ u→

Lời giải:

(u→.v→)2=(u→)2.(v→)2⇔[|u→|.|v→|.cos(u→,v→)]2=|u→|2.|v→|2

⇔[cos(u→,v→)]2=1⇔[cos(u→,v→)=1cos(u→,v→)=−1

⇔[(u→,v→)=0o(u→,v→)=180o

Hay hai vectơ u→,v→ cùng phương.

Vậy hai vectơ u→,v→ cùng phương thì (u→.v→)2=(u→)2.(v→)2

Luyện tập 2 trang 67 Toán lớp 10: Cho tam giác AB C có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính AB→.AC→ theo a,b,c.

Phương pháp giải:

+) Tích vô hướng: u→.v→=|u→|.|v→|.cos(u→,v→)

Lời giải:

Ta có: AB→.AC→=|AB→|.|AC→|.cos⁡(AB→,AC→)

Mà (AB→,AC→)=BAC^⇒cos⁡(AB→,AC→)=cos⁡BAC^

Lại có: cos⁡BAC^=b2+c2−a22bc(suy ra từ định lí cosin)

⇒AB→.AC→=AB.AC.b2+c2−a22bc⇔AB→.AC→=c.b.b2+c2−a22bc⇔AB→.AC→=b2+c2−a22

3. Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng

Giải Toán 10 trang 68 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ2 trang 68 Toán lớp 10: Cho hai vectơ cùng phương u→=(x;y) và v→=(kx;ky). Hãy kiểm tra công thức u→.v→=k(x2+y2) theo từng trường hợp sau:

a) u→=0→

b) u→≠0→ và k≥0

c) u→≠0→ và k<0

Phương pháp giải:

Tính tích vô hướng bằng công thức: u→.v→=|u→|.|v→|.cos(u→,v→)

Lời giải:

a) Vì u→=0→ nên u→ vuông góc với mọi v→.

Như vậy u→.v→=0

Mặt khác: u→=0→⇔x=y=0

⇒k(x2+y2)=0=u→.v→

b) Vì u→≠0→ và k≥0 nên u→ và v→cùng hướng.

⇒(u→,v→)=0o⇔cos(u→,v→)=1

⇒u→.v→=|u→|.|v→|=x2+y2.(kx)2+(ky)2=x2+y2.|k|.x2+y2=k(x2+y2)

(|k|= k do k > 0)

c) Vì u→≠0→ và k<0 nên u→ và v→ngược hướng.

⇒(u→,v→)=180o⇔cos(u→,v→)=−1

⇒u→.v→=−|u→|.|v→|=−x2+y2.(kx)2+(ky)2=−x2+y2.|k|.x2+y2=k(x2+y2).

HĐ3 trang 68 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương u→=(x;y) và v→=(x′;y′).

a) Xác định tọa độ của các điểm A và B sao cho OA→=u→,OB→=v→.

b) Tính AB2,OA2,OB2 theo tọa độ của A và B.

c) Tính OA→.OB→ theo tọa độ của A, B.

Lời giải:

a) Vì OA→=u→=(x;y) nên A(x; y).

Tương tự: do OB→=v→=(x′;y′) nên B (x’; y’)

b) Ta có: OA→=(x;y)⇒OA2=|OA→|2=x2+y2.

Và OB→=(x′;y′)⇒OB2=|OB→|2=x′2+y′2.

Lại có: AB→=OB→−OA→=(x′;y′)−(x;y)=(x′−x;y′−y)

⇒AB2=|AB→|2=(x′−x)2+(y′−y)2.

c) Theo định lí cosin trong tam giác OAB ta có:

cos⁡O^=OA2+OB2−AB22.OA.OB

Mà OA→.OB→=|OA→|.|OB→|.cos⁡(OA→,OB→)=OA.OB.cos⁡O^

⇒OA→.OB→=OA.OB.OA2+OB2−AB22.OA.OB=OA2+OB2−AB22

⇒OA→.OB→=x2+y2+x′2+y′2−(x′−x)2−(y′−y)22⇔OA→.OB→=−(−2x′.x)−(−2y′.y)2=x′.x+y′.y

Luyện tập 3 trang 68 Toán lớp 10: Tích vô hướng và góc giữa hai vectơ u→=(0;−5),v→=(3;1)

Phương pháp giải:

Cho u→=(x;y) và v→=(x′;y′), khi đó: u→.v→=x.x′+y.y′

Lời giải:

Ta có: u→=(0;−5),v→=(3;1)

⇒u→.v→=0.3+(−5).1=−5.

HĐ4 trang 68 Toán lớp 10: Cho ba vectơ u→=(x1;y1),v→=(x2;y2),w→=(x3;y3).

a) Tính u→.(v→+w→),u→.v→+u→.w→ theo tọa độ của các vectơ u→,v→,w→.

b) So sánh u→.(v→+w→) và u→.v→+u→.w→

c) So sánh u→.v→ và v→.u→

Phương pháp giải:

Cho u→=(x;y) và v→=(x′;y′), khi đó: u→.v→=x.x′+y.y′

Lời giải:

a) Ta có: u→=(x1;y1),v→=(x2;y2),w→=(x3;y3).

⇒v→+w→=(x2;y2)+(x3;y3)=(x2+x3;y2+y3)⇒u→.(v→+w→)=x1.(x2+x3)+y1.(y2+y3)

Và: u→.v→+u→.w→=(x1.x2+y1.y2)+(x1.x3+y1.y3)=x1.x2+y1.y2+x1.x3+y1.y3.

b) Vì x1.x2+y1.y2+x1.x3+y1.y3=(x1.x2+x1.x3)+(y1.y2+y1.y3)=x1.(x2+x3)+y1.(y2+y3)

Nên u→.(v→+w→)=u→.v→+u→.w→

c) Ta có: u→=(x1;y1),v→=(x2;y2)

⇒{u→.v→=x1.x2+y1.y2v→.u→=x2.x1+y2.y1⇔u→.v→=v→.u→

Giải Toán 10 trang 70 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 4 trang 70 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác.

a) Chứng minh rằng AH→.BC→=0→ và BH→.CA→=0→

b) Tìm tọa độ của H.

c) Giải tam giác ABC.

Phương pháp giải:

a) u→⊥v→⇔u→.v→=0

b) Lập hệ PT biết AH→.BC→=0→ và BH→.CA→=0→.

c) Nếu vectơ AB→(x;y) thì |AB→|=x2+y2

Lời giải:

a) AH⊥BC và BH⊥CA

⇒(AH→,BC→)=90o⇔cos⁡(AH→,BC→)=0 . Do đó AH→.BC→=0→

Tương tự suy ra BH→.CA→=0→.

b) Gọi H có tọa độ (x; y)

⇒{AH→=(x−(−1);y−2)=(x+1;y−2)BH→=(x−8;y−(−1))=(x−8;y+1)

Ta có: AH→.BC→=0→ và BC→=(8−8;8−(−1))=(0;9)

(x+1).0+(y−2).9=0⇔9.(y−2)=0⇔y=2.

Lại có: BH→.CA→=0→ và CA→=(−1−8;2−8)=(−9;−6)

(x−8).(−9)+(y+1).(−6)=0⇔−9x+72+3.(−6)=0⇔−9x+54=0⇔x=6.

Vậy H có tọa độ (6; 2)

c) Ta có: AB→=(8−(−1);−1−2)=(9;−3)⇒AB=|AB→|=92+(−3)2=310

Và BC→=(0;9)⇒BC=|BC→|=02+92=9;

CA→=(−9;−6)⇒AC=|CA→|=(−9)2+(−6)2=313.

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

cos⁡A^=b2+c2−a22bc=(313)2+(310)2−(9)22.313.310≈0,614⇒A^≈52,125o

cos⁡B^=a2+c2−b22ac=(9)2+(310)2−(313)22.9.310=1010⇒B^≈71,565o

⇒C^≈56,31o

Vậy tam giác ABC có: a=9;b=313;c=310; A^≈52,125o;B^≈71,565o;C^≈56,31o.

Vận dụng trang 70 Toán lớp 10: Một lực F→ không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B. Lực F→ được phân tích thành hai lực thành phần là F1→ và F2→ (F→=F1→+F2→).

a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực F→ (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực F1→ và F2→.

b) Giả sử các lực thành phần F1→, F2→tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực F→ và lực F1→.

Phương pháp giải:

Khi lực F→ không đổi tác dụng lên một vật và điểm đặt chuyển dời một đoạn s theo hướng hợp với hướng của lực góc α thì công sinh bởi lực đó là: A=F.s.cos⁡α

Lời giải:

a)

Gọi A,A1,A2 lần lượt là công sinh bởi lực F→, F1→ và F2→.

Ta cần chứng minh: A=A1+A2

Xét lực F→, công sinh bởi lực F→ là: A=|F→|.AB.cos⁡(F→,AB→)=F→.AB→

Tương tự, ta có: A1=F1→.AB→, A2=F2→.AB→

Áp dụng tính chất của tích vô hướng ta có:

A1+A2=F1→.AB→+F2→.AB→=(F1→+F2→).AB→=F→.AB→=A

b)

Vì F2→tương ứng vuông góc với phương chuyển động nên F2→⊥AB→

Do đó: công sinh bởi lực F2→ là: A2=F2→.AB→=0

Mà A=A1+A2

⇒A=A1

Vậy công sinh bởi lực F→ bằng công sinh bởi lực F1→.

Bài tập

Bài 4.21 trang 70 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ a→ và b→ trong mỗi trường hợp sau:

a) a→=(−3;1),b→=(2;6)

b) a→=(3;1),b→=(2;4)

c) a→=(−2;1),b→=(2;−2)

Lời giải:

a)

a→.b→=(−3).2+1.6=0

⇒a→⊥b→ hay (a→,b→)=90o.

b)

{a→.b→=3.2+1.4=10|a→|=32+12=10;|b→|=22+42=25

⇒cos⁡(a→,b→)=1010.25=22⇒(a→,b→)=45o

c) Dễ thấy: a→ và b→ cùng phương do −22=1−2

Hơn nữa: b→=(2;−2)=−2.(−2;1)=−2.a→; −2<0

Do đó: a→ và b→ ngược hướng.

⇒(a→,b→)=180o

Chú ý:

Khi tính góc, ta kiểm tra các trường hợp dưới đây trước:

+ (a→,b→)=90o: nếu a→.b→=0

+ a→ và b→ cùng phương:

(a→,b→)=0o nếu a→ và b→ cùng hướng

(a→,b→)=0o nếu a→ và b→ ngược hướng

Nếu không thuộc các trường hợp trên thì ta tính góc dựa vào công thức cos⁡(a→,b→)=a→.b→|a→|.|b→|

Bài 4.22 trang 70 Toán lớp 10: Tìm điều kiện của u→,v→ để:

Bài 4.23 trang 70 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1; 2), B(-4; 3). Gọi M (t; 0) là một điểm thuộc trục hoành.

a) Tính AM→.BM→ theo t.

b) Tính t để AMB^=90o

Lời giải:

a)

Ta có: A (1; 2), B(-4; 3) và M (t; 0)

⇒AM→=(t−1;−2),BM→=(t+4;−3)⇒AM→.BM→=(t−1)(t+4)+(−2)(−3)=t2+3t+2.

b)

Để AMB^=90o hay AM⊥BM thì AM→.BM→=0

⇔t2+3t+2=0⇔[t=−1t=−2

Vậy t = -1 hoặc t = -2 thì AMB^=90o

Bài 4.24 trang 70 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A (-4; 1), B (2;4), C (2; -2)

a) Giải tam giác

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

a) Ta có:

{AB→=(2−(−4);4−1)=(6;3)BC→=(2−2;−2−4)=(0;−6)AC→=(2−(−4);−2−1)=(6;−3)⇒{AB=|AB→|=62+32=35BC=|BC→|=02+(−6)2=6AC=|CA→|=62+(−3)2=35.

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

cos⁡A^=b2+c2−a22bc=(35)2+(35)2−(6)22.35.35=35⇒A^≈53,13o

cos⁡B^=a2+c2−b22ac=(6)2+(35)2−(35)22.6.35=55⇒B^≈63,435o

⇒C^≈63,435o

Vậy tam giác ABC có: a=6;b=35;c=35; A^≈53,13o;B^=C^≈63,435o.

b)

Gọi H có tọa độ (x; y)

⇒{AH→=(x−(−4);y−1)=(x+4;y−1)BH→=(x−2;y−4)

Lại có: H là trực tâm tam giác ABC

⇒AH⊥BC và BH⊥AC

⇒(AH→,BC→)=90o⇔cos⁡(AH→,BC→)=0 và (BH→,AC→)=90o⇔cos⁡(BH→,AC→)=0

Do đó AH→.BC→=0→ và BH→.AC→=0→.

Mà: BC→=(0;−6)

⇒(x+4).0+(y−1).(−6)=0⇔−6.(y−1)=0⇔y=1.

Và AC→=(6;−3)

⇒(x−2).6+(y−4).(−3)=0⇔6x−12+(−3).(−3)=0⇔6x−3=0⇔x=12.

Vậy H có tọa độ (1;12)

Bài 4.25 trang 70 Toán lớp 10: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có:

SABC=12AB→2.AC→2−(AB→.AC→)2.

Lời giải:

Đặt A=12AB→2.AC→2−(AB→.AC→)2

⇒A=12AB2.AC2−(AB.AC.cos⁡A)2⇔A=12AB2.AC2(1−cos2A)

Mà 1−cos2A=sin2A

⇒A=12AB2.AC2.sin2A

⇔A=12.AB.AC.sin⁡A (Vì 0o<A^<180o nên sin⁡A>0)

Do đó A=SABC hay SABC=12AB→2.AC→2−(AB→.AC→)2. (đpcm)

Bài 4.26 trang 70 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có: