09/04/2024 00:00

Cấp số nhân, công thức cấp số nhân bạn cần biết

Cấp số nhân công thức cấp số nhân là phần kiến thức quan trọng thuộc Toán THPT. Các công thức về cấp số nhân khá phức tạp, đòi hỏi độ tập trung cao. Do đó, để giải nhanh chuẩn bài tập thì các bạn phải nhớ và biết cách vận dụng công thức. Cùng chúng tôi tìm hiểu kỹ hơn về cấp số nhân và công thức liên quan qua bài viết dưới đây nhé.

Cấp số nhân và công thức cấp số nhân cần biết

Khái niệm cần nhớ về cấp số nhân

Cấp số nhân trong Toán lớp 11 được hiểu là một dãy số vô hạn hoặc hữu hạn. Dãy số này phải thoả mãn điều kiện kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng liền trước nó với một số không đổi. Hằng số này được gọi là công bội, ký hiệu là q của cấp số nhân. Vì vậy, một cấp số nhân sẽ có dạng a, ar, ar^2, ar^3, ar^4… theo đó, a là số hạng đầu tiên, r là công bội của cấp số nhân.

Hệ thống công thức cấp số nhân cần nhớ

Trong cấp số nhân ( CSN) có nhiều công thức để bạn vận dụng vào bài tập. Dưới đây là những công thức cơ bản bạn cần hiểu và ghi nhớ để làm bài tập:

Công thức công bội q

Công thức tính công bội q của CSN sẽ như sau:

q= ( Un+1)/ Un

Ví dụ: Cho U1= 3; U2= 9. Áp dụng công thức tính công bội ta có: q= U2/U1= 9/3= 3.

Hoặc cho U3= 6, U4 = 12; Ta có: q= U4/U3= 12/6= 2.

Số hạng tổng quát cấp số nhân

Un = U1*q(n-1), trong đó, n lớn hơn hoặc bằng 2.

Ví dụ: Cho cấp số nhân Un, biết q= 3 và số hạng đầu tiên U1= 8. Tìm số hạng thứ 2.

Lời giải: Ta áp dụng công thức CSN: U( n+1)= Un.q

Ta có: q= 3; số hạng thứ 2: n+1= 2=> n=1.

U1 = 8. Thay số vào công thức ta có:

U (1+1)= U1.q => U2= 8.3= 24.

Vậy số hạng thứ 2 là 24.

Công thức tổng quát về cấp số nhân

Tính chất của cấp số nhân trong toán học

Nếu số ( Un) là cấp số nhân thì từ số hạng thứ 2, bình phương của mỗi số hạng bằng tích của số hạng đứng kề trước, kề sau nó trong dãy( trừ số hạng cuối trong cấp số nhân hữu hạn).

Tức là: (Uk)^2 = U(k-1). U(k+1)

Còn nếu cấp số nhân Un có số hạng đầu U1 và công bội q thì số hạng tổng quát Un được tính theo công thức sau: Un= U1. q^n-1
Tổng n số hạng đầu có dạng Sn=u1+ u2+…+un= u1 ( 1- qn)1- q.
Trong đó, q= 0 thì dãy cấp số nhân sẽ là u1; 0; 0; …; 0… và Sn sẽ bằng u1.
Nếu q=1 thì dãy cấp số nhân có dạng u1; u1; u1; …; u1 => Sn= n.u1
Khi u1= 0 thì mọi q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0; 0…; 0 và Sn= 0.

Các dạng ài tập về cấp số nhân

Khi đã hiểu về định nghĩa và các công thức cấp số nhân, bạn sẽ dễ dàng vận dụng vào bài tập. Dưới đây là một số dạng bài tập để bạn tham khảo giải đề:

Bài tập 1: Cho cấp số nhân (un) với u1= -12; u7= -32. Tìm công bội q?

Lời giải: Với dạng bài này, ta áp dụng công thức tính số hạng tổng quát cấp số nhân. Theo đó ta có:

un= u1.qn- 1 => u7= u1.q6 => q6= 64=> q= 2.q= -2.

Bài tập 2: Cho cấp số nhân ( un) với u1= -2, q= -5. Tìm 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát un.

Lời giải:

Theo công thức ta có:

u2= u1.q = (-2).(-5)= 10

u3= u2.q= 10.(-5)= -50

u4= u3.q= (-50). (-5)= 250

=> 3 số hạng tiếp theo lần lượt là 10; -50; 250

Số hạng tổng quát un= u1.qn-1= ( -2). (-5) n-1

Dạng đề 3: Cho 3 số a, b, c lập thành một cấp số nhân, chứng minh rằng: ( a^2+ b^2) ( b^2 + c^2)= ( ab+bc)^2

Bài giải:

Ta có a, b, c lập thành một cấp số nhân được ac= b^2.

Khi đó: ( a^2 + b^2)* ( b^2+ c^2)= a^2.b^2+ a^2.c^2+ b^4+ b^2.c^2= a^2.b^2+ abc^2+ b^2.c^2 = a^2b^2+ 2ab^2c + b^2c^2 = (ab+ bc)^2

Vậy chứng minh rằng: ( a^2+ b^2) ( b^2 + c^2)= ( ab+bc)^2

Như vậy, bài viết trên đây chúng tôi đã cập nhật kiến thức cơ bản về cấp số nhân công thức cấp số nhân. Cùng một số dạng bài tập để bạn tham khảo. Mong rằng những kiến thức này sẽ giúp ích cho bạn trong bộ môn Toán học của mình.

Nhận code tại đây:

Nhận code ngay

Link nội dung: https://pmil.edu.vn/cong-thuc-cap-so-nhan-un-a12339.html

Messages Timeline Exceptions Views2 Route Queries6 Models642 Livewire0 Mails Gate Session Request

7.4.3355ms21MBGET print-{id}.html

Booting (236ms)
Application (117ms)
1 x Booting (66.47%)
235.66ms
1 x Application (32.94%)
116.78ms

2 templates were rendered

article.print (Themes/TinhTe/views/article/print.blade.php)1blade
Params
0
article
layouts.print (Themes/TinhTe/views/layouts/print.blade.php)4blade
Params
0
__env
1
app
2
errors
3
article

Params
0	`article`

Params
0	`__env`
1	`app`
2	`errors`
3	`article`

uri: GET print-{id}.html
middleware: web
controller: Themes\TinhTe\Http\Controllers\WebBlogController@print
namespace: Themes\TinhTe\Http\Controllers
prefix
where
as: article.print
file: Themes/TinhTe/Http/Controllers/WebBlogController.php:1155-1176

6 statements were executed, 4 of which were duplicated, 2 unique56.53ms

select * from `blog` where `status` = 'published' and `blog`.`id` = '12339' and `blog`.`deleted_at` is null limit 1

49.18ms/Themes/TinhTe/Http/Controllers/WebBlogController.php:1162pmil_edu_vn

Metadata
Bindings	0. published 1. 12339
Backtrace	17. /Themes/TinhTe/Http/Controllers/WebBlogController.php:1162 18. /vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/Repository.php:391 19. /Themes/TinhTe/Http/Controllers/WebBlogController.php:1163 20. /vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Routing/Controller.php:54 21. /vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Routing/ControllerDispatcher.php:45

select * from `blog_category` where `blog_category`.`id` in (377)

1.62ms/Themes/TinhTe/Http/Controllers/WebBlogController.php:1162pmil_edu_vn

Metadata
Backtrace	22. /Themes/TinhTe/Http/Controllers/WebBlogController.php:1162 23. /vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/Repository.php:391 24. /Themes/TinhTe/Http/Controllers/WebBlogController.php:1163 25. /vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Routing/Controller.php:54 26. /vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Routing/ControllerDispatcher.php:45

select * from `settings` where `settings`.`deleted_at` is null

1.07ms/Modules/System/Entities/Setting.php:57pmil_edu_vn

Metadata
Backtrace	17. /Modules/System/Entities/Setting.php:57 18. /Modules/System/Entities/Setting.php:65 19. /Modules/Blog/Helpers/Common.php:13 21. /Themes/TinhTe/Http/Controllers/WebBlogController.php:1173 22. /vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Routing/Controller.php:54

select * from `settings` where `settings`.`deleted_at` is null

900μs/Modules/System/Entities/Setting.php:57pmil_edu_vn

Metadata
Backtrace	17. /Modules/System/Entities/Setting.php:57 18. /Modules/System/Entities/Setting.php:65 19. view::5c4601da5855a6044245aaa98717be5be67e8a8d:4 21. /vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Filesystem/Filesystem.php:108 22. /vendor/laravel/framework/src/Illuminate/View/Engines/PhpEngine.php:58

select * from `settings` where `settings`.`deleted_at` is null

2.67ms/Modules/System/Entities/Setting.php:57pmil_edu_vn

Metadata
Backtrace	17. /Modules/System/Entities/Setting.php:57 18. /Modules/System/Entities/Setting.php:65 19. view::5c4601da5855a6044245aaa98717be5be67e8a8d:4 21. /vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Filesystem/Filesystem.php:108 22. /vendor/laravel/framework/src/Illuminate/View/Engines/PhpEngine.php:58

select * from `settings` where `settings`.`deleted_at` is null

1.09ms/Modules/System/Entities/Setting.php:57pmil_edu_vn

Metadata
Backtrace	17. /Modules/System/Entities/Setting.php:57 18. /Modules/System/Entities/Setting.php:65 19. view::5c4601da5855a6044245aaa98717be5be67e8a8d:4 21. /vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Filesystem/Filesystem.php:108 22. /vendor/laravel/framework/src/Illuminate/View/Engines/PhpEngine.php:58

Modules\System\Entities\Setting: 640
Modules\Blog\Entities\BlogCategory: 1
Modules\Blog\Entities\Blog: 1

_token: 9WcWDqrM0liZeKqw2w6edIegwUtr1lPhAQSDBQoY
_previous: array:1 [ "url" => "http://pmil.edu.vn/print-12339.html" ]
_flash: array:2 [ "old" => [] "new" => [] ]
PHPDEBUGBAR_STACK_DATA: []

telescope

View in Telescope

path_info

/print-12339.html

status_code

status_text

format

html

content_type

text/html; charset=UTF-8

request_query

[]

request_request

[]

request_headers

  0 of 0   
array:19 [▼
  "priority" => array:1 [▶
    0 => "u=0, i"
  ]
  "accept-encoding" => array:1 [▶
    0 => "gzip, deflate, br, zstd"
  ]
  "sec-fetch-dest" => array:1 [▶
    0 => "document"
  ]
  "sec-fetch-user" => array:1 [▶
    0 => "?1"
  ]
  "sec-fetch-mode" => array:1 [▶
    0 => "navigate"
  ]
  "sec-fetch-site" => array:1 [▶
    0 => "none"
  ]
  "accept" => array:1 [▶
    0 => "text/html,application/xhtml+xml,application/xml;q=0.9,image/avif,image/webp,image/apng,*/*;q=0.8,application/signed-exchange;v=b3;q=0.7"
  ]
  "user-agent" => array:1 [▶
    0 => "Mozilla/5.0 AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko; compatible; ClaudeBot/1.0; +claudebot@anthropic.com)"
  ]
  "upgrade-insecure-requests" => array:1 [▶
    0 => "1"
  ]
  "sec-ch-ua-platform" => array:1 [▶
    0 => ""Windows""
  ]
  "sec-ch-ua-mobile" => array:1 [▶
    0 => "?0"
  ]
  "sec-ch-ua" => array:1 [▶
    0 => ""HeadlessChrome";v="129", "Not=A?Brand";v="8", "Chromium";v="129""
  ]
  "cache-control" => array:1 [▶
    0 => "no-cache"
  ]
  "pragma" => array:1 [▶
    0 => "no-cache"
  ]
  "connection" => array:1 [▶
    0 => "Upgrade"
  ]
  "x-forwarded-proto" => array:1 [▶
    0 => "https"
  ]
  "host" => array:1 [▶
    0 => "pmil.edu.vn"
  ]
  "content-length" => array:1 [▶
    0 => ""
  ]
  "content-type" => array:1 [▶
    0 => ""
  ]
]

request_server

  0 of 0   
array:43 [▼
  "USER" => "www-data"
  "HOME" => "/var/www"
  "HTTP_PRIORITY" => "u=0, i"
  "HTTP_ACCEPT_ENCODING" => "gzip, deflate, br, zstd"
  "HTTP_SEC_FETCH_DEST" => "document"
  "HTTP_SEC_FETCH_USER" => "?1"
  "HTTP_SEC_FETCH_MODE" => "navigate"
  "HTTP_SEC_FETCH_SITE" => "none"
  "HTTP_ACCEPT" => "text/html,application/xhtml+xml,application/xml;q=0.9,image/avif,image/webp,image/apng,*/*;q=0.8,application/signed-exchange;v=b3;q=0.7"
  "HTTP_USER_AGENT" => "Mozilla/5.0 AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko; compatible; ClaudeBot/1.0; +claudebot@anthropic.com)"
  "HTTP_UPGRADE_INSECURE_REQUESTS" => "1"
  "HTTP_SEC_CH_UA_PLATFORM" => ""Windows""
  "HTTP_SEC_CH_UA_MOBILE" => "?0"
  "HTTP_SEC_CH_UA" => ""HeadlessChrome";v="129", "Not=A?Brand";v="8", "Chromium";v="129""
  "HTTP_CACHE_CONTROL" => "no-cache"
  "HTTP_PRAGMA" => "no-cache"
  "HTTP_CONNECTION" => "Upgrade"
  "HTTP_X_FORWARDED_PROTO" => "https"
  "HTTP_HOST" => "pmil.edu.vn"
  "REDIRECT_STATUS" => "200"
  "SERVER_NAME" => "pmil.edu.vn"
  "SERVER_PORT" => "80"
  "SERVER_ADDR" => "10.2.40.243"
  "REMOTE_PORT" => "52120"
  "REMOTE_ADDR" => "10.2.40.250"
  "SERVER_SOFTWARE" => "nginx/1.18.0"
  "GATEWAY_INTERFACE" => "CGI/1.1"
  "REQUEST_SCHEME" => "http"
  "SERVER_PROTOCOL" => "HTTP/1.1"
  "DOCUMENT_ROOT" => "/var/www/html/pmil.edu.vn/public"
  "DOCUMENT_URI" => "/index.php"
  "REQUEST_URI" => "/print-12339.html"
  "SCRIPT_NAME" => "/index.php"
  "CONTENT_LENGTH" => ""
  "CONTENT_TYPE" => ""
  "REQUEST_METHOD" => "GET"
  "QUERY_STRING" => ""
  "SCRIPT_FILENAME" => "/var/www/html/pmil.edu.vn/public/index.php"
  "PATH_INFO" => ""
  "FCGI_ROLE" => "RESPONDER"
  "PHP_SELF" => "/index.php"
  "REQUEST_TIME_FLOAT" => 1744056271.0862
  "REQUEST_TIME" => 1744056271
]

request_cookies

[]

response_headers

  0 of 0   
array:5 [▼
  "content-type" => array:1 [▶
    0 => "text/html; charset=UTF-8"
  ]
  "cache-control" => array:1 [▶
    0 => "no-cache, private"
  ]
  "date" => array:1 [▶
    0 => "Mon, 07 Apr 2025 20:04:31 GMT"
  ]
  "set-cookie" => array:1 [▶
    0 => "pmileduvn_session=eyJpdiI6ImxHeFg5azNPUitOOHdQYVpqdi9oWkE9PSIsInZhbHVlIjoiNVhMYnJ4S1NLL0VEVThOMzZUdlpRMkhUQ2JFODlldFREVEZncUZSNWRIMXlOVXJWY2U2V2UxVEcxR2hkMkt4S0dDTUJybDdUS3REc3VSUjVZZytGMFNUVjZXWFRIM251M1ljVEEyRUxDYXM5VEtkOUthQ2ozMGJrS3NuQnpGV3MiLCJtYWMiOiI4YjA0ODI5YTFiMjlhMmYyNGZhZTdjNGEwOGUyNTgwNWUwMjYwMmY0YjA4NDQ4MzZjNzdhZGEyMWY3NDA1YTc5IiwidGFnIjoiIn0%3D; expires=Mon, 07-Apr-2025 22:04:31 GMT; Max-Age=7200; path=/; httponly; samesite=lax ◀pmileduvn_session=eyJpdiI6ImxHeFg5azNPUitOOHdQYVpqdi9oWkE9PSIsInZhbHVlIjoiNVhMYnJ4S1NLL0VEVThOMzZUdlpRMkhUQ2JFODlldFREVEZncUZSNWRIMXlOVXJWY2U2V2UxVEcxR2hkMkt4S0 ▶"
  ]
  "Set-Cookie" => array:1 [▶
    0 => "pmileduvn_session=eyJpdiI6ImxHeFg5azNPUitOOHdQYVpqdi9oWkE9PSIsInZhbHVlIjoiNVhMYnJ4S1NLL0VEVThOMzZUdlpRMkhUQ2JFODlldFREVEZncUZSNWRIMXlOVXJWY2U2V2UxVEcxR2hkMkt4S0dDTUJybDdUS3REc3VSUjVZZytGMFNUVjZXWFRIM251M1ljVEEyRUxDYXM5VEtkOUthQ2ozMGJrS3NuQnpGV3MiLCJtYWMiOiI4YjA0ODI5YTFiMjlhMmYyNGZhZTdjNGEwOGUyNTgwNWUwMjYwMmY0YjA4NDQ4MzZjNzdhZGEyMWY3NDA1YTc5IiwidGFnIjoiIn0%3D; expires=Mon, 07-Apr-2025 22:04:31 GMT; path=/; httponly ◀pmileduvn_session=eyJpdiI6ImxHeFg5azNPUitOOHdQYVpqdi9oWkE9PSIsInZhbHVlIjoiNVhMYnJ4S1NLL0VEVThOMzZUdlpRMkhUQ2JFODlldFREVEZncUZSNWRIMXlOVXJWY2U2V2UxVEcxR2hkMkt4S0 ▶"
  ]
]

session_attributes

  0 of 0   
array:4 [▼
  "_token" => "9WcWDqrM0liZeKqw2w6edIegwUtr1lPhAQSDBQoY"
  "_previous" => array:1 [▶
    "url" => "http://pmil.edu.vn/print-12339.html"
  ]
  "_flash" => array:2 [▶
    "old" => []
    "new" => []
  ]
  "PHPDEBUGBAR_STACK_DATA" => []
]

1 x Booting (66.47%)	235.66ms
1 x Application (32.94%)	116.78ms