Công thức nguyên hàm lnx và cách giải các dạng bài tập

1. Khái niệm nguyên hàm lnx

Ta có hàm số $f(x)$ xác định trên K. Hàm số $f(x)$ chính là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên K nếu $f'(x)=f(x)$ với $xin K$. Nguyên hàm của $lnx$ sẽ được tính như sau:

Đặt $left{begin{matrix}u=lnxdv=dx end{matrix}right.Rightarrow left{begin{matrix} du=frac{1}{x}dxv=x end{matrix}right.$

Ta có $int lnxdx=xlnx-int dx'=xlnx-x+C$

2. Bảng công thức nguyên hàm của ln(x)

Ta có bảng công thức nguyên hàm In x và một số nguyên hàm cơ bản thường gặp.

3. Cách tính nguyên hàm lnx

3.1. Nguyên hàm ln(x+1)

Ví dụ 1: Với $int_{1}^{2}ln(x+1)dx=aln3+bln2+c$, trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính S=a+b=c.

Giải:

Đặt $left{begin{matrix}u=ln(x+1)dv=dx end{matrix}right.Rightarrow left{begin{matrix} du=frac{1}{x+1}dxv=x+1 end{matrix}right.$

Lúc này ta có:

$int_{1}^{2}ln(x+1)dx= (x+1)ln(x+1)left|begin{matrix} 21 end{matrix}right.-int_{1}^{2}dx=3ln3-2ln2-1$

Như vậy: a=3; b=-2; c=-1

$Rightarrow$ S=a+b+c=0

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: $B=x^2Inxdx$

Giải:

B=$int x^{2}lnxdx=int lnxd(frac{x^{3}}{3})$

=$frac{x^{3}}{3}lnx-int frac{x^{3}}{3}.d(lnx)$

=$frac{x^{3}}{3}lnx-int frac{x^{3}}{3}.frac{dx}{3}=frac{x^{3}}{3}lnx-frac{x^{3}}{9}+C$

Nắm trọn kiến thức về nguyên hàm và các kiến thức Toán thi THPT Quốc Gia khác với bộ bí kíp độc quyền của VUIHOC ngay!

3.2. Nguyên hàm 1+ln/x

Ví dụ 1:

Tìm nguyên hàm J=$int frac{(lnx+1)lnx}{(lnx+1+x)}dx$

Giải:

Ta có: J=$int frac{lnx+1}{x(frac{lnx+1}{x}+1)}^{3}.frac{lnx}{x^{2}}dx$

Đặt t=$frac{lnx+1}{x}Rightarrow dt=frac{lnx}{x^{2}}dx Rightarrow J=int frac{tdt}{(t+1)^{3}}=int [frac{1}{(t+1)^{3}}-frac{1}{(t+1)^{2}}]dt$

=$-frac{1}{2(t+1)^{2}}+frac{1}{t+1}+C$

=$-frac{x^{2}}{2(lnx+1+x^{2})}+frac{x}{lnx+x+1}+C$

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của:

a) ∫x.2x dx

b) ∫(x2-1) ex dx

Giải:

a) Đặt $left{begin{matrix}u=xdv=2^{x}dxRightarrow left{begin{matrix} du=dxv=frac{2^{x}}{ln2}. end{matrix}right. end{matrix}right.$

Ta có: $int x2^{x}dx=frac{x.2^{x}}{ln2}-int frac{2^{x}}{ln2}dx=frac{x.2^{x}}{ln2}-frac{2^{x}}{ln^{2}2}+C$

b) Đặt $left{begin{matrix}u=x^{2}-1dv=e^{x}dx end{matrix}right.Rightarrow left{begin{matrix}du=2xdxv=e^{x}dx end{matrix}right.$

Suy ra ta có $int f(x)dx=(x2-1)ex-int 2x.ex$ dx

Đặt $left{begin{matrix}u=2xdv=e^{x}dx end{matrix}right.Rightarrow left{begin{matrix}du=2dxv=e^{x}dx end{matrix}right.$

Ví dụ 3: Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x)=(3x^{2}+1).lnx$

A. $int f(x)dx=x(x^{2}+1)lnx-frac{x^{3}}{3}+C$

B. $int f(x)dx=x^{3}lnx-frac{x^{3}}{3}+C$

C. $int f(x)dx=x(x^{2}+1lnx-frac{x^{3}}{3}-x+C$

D. $int f(x)dx=x^{3}lnx-frac{x^{3}}{3}-x+C$

Giải:

Đặt $left{begin{matrix}u=lnxdv=(3x^{2}+1)dx end{matrix}right.Rightarrow left{begin{matrix}du=frac{1}{x}dxv=int (3x^{2}+1)dx=x^{3}+x end{matrix}right.$

$Rightarrow I=(x^{3}+x)lnx-int (x^{3}+x)frac{1}{x}dx=x(x^{2}+1)lnx-int (x^{2}+1)dx=x(x^{2}+1lnx-frac{x^{3}}{3}-x+C.$

=> Đáp án C.

3.3. Nguyên hàm của ln(ax+b)

Ví dụ 1:

Bất phương trình $In(2x^2+3)>In(x^2+ax+1)$ nghiệm đúng với mọi số thực khi?

Giải:

Ví dụ 2: Tính nguyên hàm:

a) $int 2xln(x-1)dx$

b) $int frac{ln(x+1)}{x^{2}}$

Giải:

a) Đặt $left{begin{matrix}u=ln(x-1)dv=2xdx end{matrix}right.Rightarrow left{begin{matrix}du=frac{1}{x-1}dxv=x^{2}-1 end{matrix}right.$

Ta có $int 2xln(x-1)dx$

=$(x^{2}-1)ln(x-1)-int (x+1)dx$

=$(x^{2}-1)ln(x-1)-int (x+1)dx$

=$(x^{2}-1)ln(x-1)-frac{x^{2}}{2}-x+C$

Đặt $left{begin{matrix}u=ln(1+x)dv=frac{1}{x^{2}}dtend{matrix}right.Rightarrow left{begin{matrix} du=frac{1}{(1+x)}dxv=-frac{1}{x}-1=-frac{1+x}{x} end{matrix}right.$

=> $F(x)=-frac{1+x}{x}.ln(1+x)+int frac{1}{x}dx$

= $-frac{1+x}{x}ln(1+x)+ln|x|+C$

3.4. Nguyên hàm của ln(x^2+1)dx

Ví dụ 1:

Tìm nguyên hàm I=$xIn(x^2+1)x2+1dx$

Giải:

Ví dụ 2:

Cho $int_{1}^{2}frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx=aln2+bln3$, với a và b là các số hữu tỉ. Tính P=ab

A. P=$frac{3}{2}$

B. P=0

C. P=$frac{-9}{2}$

D. P=-3

Giải:

Ta có I=$int_{1}^{2}frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx=aln2+bln3$

Đặt $left{begin{matrix}u=ln(1+x)dv=frac{1}{x^{2}}dx end{matrix}right.Rightarrow left{begin{matrix}du=frac{1}{1+x}dxv=-frac{1}{x} end{matrix}right.$

Khi đó I=$-frac{1}{x}ln(1+x)left|begin{matrix} 21 end{matrix}right.+int_{1}^{2}frac{1}{x(1+x)}dx=-frac{1}{2}ln3+ln2+int_{1}^{2}(frac{1}{x}-frac{1}{1+x})dx$

=$-frac{1}{2}ln3+ln2+(lnfrac{x}{x+1})left|begin{matrix}21 end{matrix}right.=-frac{1}{2}ln3+ln2+2ln2-ln3=3ln2-frac{3}{2}ln3$

Suy ra a=3, b=$-frac{3}{2}$. Vậy P=$ab=frac{-9}{2}$

Chọn đáp án C.

3.5. Nguyên hàm của hàm số f(x)=ln/x

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x)=1x+In(x)x

Giải:

Ta có:

y’= $-frac{1}{x^{2}}+frac{ln(x)'x-ln(x)'x}{x^{2}}$

=$-frac{1}{x^{2}}+frac{1+ln(x)}{x^{2}}=-frac{ln(x)}{x^{2}}$

Ví dụ 2:

Giả sử tích phân I=$int_{1}^{5}frac{1}{1+sqrt{3x+1}}dx$=a+bln3+cln5.

Lúc đó:

A. $a+b+c=frac{5}{3}$

B. $a+b+c=frac{4}{3}$

C. $a+b+c=frac{7}{3}$

D. $a+b+c=frac{8}{3}$

Giải:

Đặt t = $sqrt{3x+1}Rightarrow dx=frac{2}{3}tdt$

Đổi cận

x 1 5 t 2 4

Ta có I=$int_{1}^{5}frac{1}{1+sqrt{3x+1}}dx=int_{1}^{4}frac{1}{1+t}.frac{2}{3}tdt=frac{2}{3}int_{2}^{4}frac{t}{t+1}dt=frac{2}{3}int_{2}^{4}(1-frac{1}{t+1})dt=frac{2}{3}(t-ln|1+t|)left|begin{matrix}42 end{matrix}right.=frac{4}{3}+frac{2}{3}ln3-frac{2}{3}ln5$

Do đó $a=frac{4}{3};b=frac{2}{3};c=-frac{2}{3}$

Vậy $a+b+c=frac{4}{3}$

=> Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Biết tích phân $int_{0}^{ln6}frac{e^{x}}{1+sqrt{e^{x}+3}}dx=a+bln2+cln2$, với a, b, c là các số nguyên. Tính T=a+b+c

A. T=-1

B. T=0

C. T=2

D.T=1

Giải:

Đặt t=$sqrt{e^{x}+3}Rightarrow t^{2}=e^{x}+3Rightarrow 2tdt=e^{x}dx$

Đổi cận $left{begin{matrix}x=ln6x=0 end{matrix}right.Rightarrow left{begin{matrix} t=3t=2 end{matrix}right.$

Suy ra $int_{0}^{ln6}frac{e^{x}}{1+sqrt{e^{x}+3}}dx=int_{2}^{3}frac{2tdt}{1+t}dt=(2t-2ln|t+1|)left|begin{matrix}32 end{matrix}right.$

=$(6-2ln4)-(4-2ln3)=2-4ln2+2ln3 Rightarrow left{begin{matrix}a=2b=-4c=2 end{matrix}right.$

Vậy T=0

=> Chọn đáp án B

3.6. Tính nguyên hàm của ln(lnx)/x

Tính nguyên hàm $I=int frac{ln(lnx)}{x}dx$ được kết quả nào sau đây?

Ví dụ 1: Tính nguyên hàm của hàm số I=$int frac{ln(lnx)}{x}dx$

Giải:

Đặt lnx=t => dt = $frac{dx}{x}$

Suy ra I=$int frac{ln(lnx)}{x}dx=int lntdt$

Đặt $left{begin{matrix}u=lntdv=dt end{matrix}right.Rightarrow left{begin{matrix}du=frac{dt}{t}v=t end{matrix}right.$

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:

I=$tlnt-int dt=tlnt-t+C=lnx.ln(lnx)-lnx+C$

Ví dụ 2:

Cho I=$int_{1}^{e}frac{lnx}{x(lnx+2)^{2}}dx=aln3+bln2+frac{c}{3}$ với a, b, c $in Z$. Khẳng định nào sau đây đúng.

A. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

B. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=11$

C. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=9$

D. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

Giải:

Ta có I=$int_{1}^{e}frac{lnx}{x(lnx+2)^{2}}dx, đặt lnx+2=t => frac{dx}{x}=dt$

I=$int_{2}^{3}frac{t-2}{t^{2}}dt=int_{2}^{3}frac{1}{t}dt-2int_{2}^{3}frac{1}{t^{2}}dt$

=$lntleft|begin{matrix}32 end{matrix}right.+frac{2}{t}left|begin{matrix}32 end{matrix}right.$

=$ln3-ln2+frac{2}{3}-frac{2}{2}=ln3-ln2-frac{1}{3}$

Suy ra a=1;b=-1;c=-1

Vậy $a^{2}+b^{2}+c^{3}=3$

Bên cạnh đó, thầy Trường Giang đã có bài giảng cực hay về nguyên hàm tích phân cùng những tip giải bài tập rất hữu ích để giải đề thi THPT Quốc gia. Các em cùng xem trong video dưới đây nhé!

Sau bài viết này, hy vọng các em đã nắm chắc được toàn bộ lý thuyết, công thức về nguyên hàm Inx, từ đó vận dụng hiệu quả vào bài tập. Để có thêm nhiều kiến thức hay em có thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ để có được kiến thức tốt nhất chuẩn bị cho kỳ thi đại học sắp tới nhé!

>> Xem thêm:

• Phương pháp tính tích phân từng phần và ví dụ minh họa
• Đầy đủ và chi tiết bài tập phương trình logarit có lời giải
• Tuyển tập lý thuyết phương trình logarit cơ bản